Tích Phân Từng Phần Là Gì? Công Thức Và Cách Giải Các Dạng Bài Tập

Tích hợp theo các bộ phận là một trong những nội dung trọng tâm mà các em sẽ được học trong chương trình môn Toán lớp 12. Để học tốt nội dung này và đạt điểm cao trong bài thi, Team chinphu.vn sẽ cùng các bạn tìm hiểu chi tiết. tích phân bởi các bộ phận Là gì, đồng thời tổng hợp các công thức, dạng toán thường gặp và cách giải cho các bạn tham khảo.

Tích phân theo bộ phận là gì?

Khái niệm tích hợp từng phần (Nguồn: Internet)

Tích hợp theo các bộ phận là một phương pháp tìm tích phân của các hàm của dạng tích trên cơ sở phân tích các nguyên hàm và đạo hàm của hàm đó.

Phương pháp này thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm đơn giản hơn. Quy tắc có thể được suy ra bằng cách tích phân quy tắc nhân của đạo hàm.

Tích phân theo phần được sử dụng để tính tích phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân chứa 2 hàm khác nhau trong 4 hàm, bao gồm: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác và hàm số mũ.

Tích phân theo công thức bộ phận

Cho hai hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b] thì chúng ta có công thức:

\intop_a^bu(x)v'(x)=u(x)v(x)|^b_a-\intop^b_au'(x)v(x)dx

Bạn có thể tóm tắt nó dưới dạng công thức chung sau:

\intop_a^budv=uv|^b_a-\intop^b_avdu

chương trình thử nghiệm

Các dạng bài tập tích phân từng phần thường gặp và cách giải

Bài toán giải tích tích phân bởi các bộ phận được chia thành 4 loại phổ biến. Các em học sinh có thể tham khảo các dạng toán này và luyện tập để chuẩn bị cho các kì thi sắp tới.

Xem thêm bài viết hay:  Trải nghiệm đáng nhớ về dấu ấn cố đô với bí kíp khám phá Đại nội Huế từ A-Z

Các bất đẳng thức và bài tập Cosi có đáp án chi tiết

Dạng 1: Hàm số đa thức và hàm số lôgarit

Công thức chung:

\intop^n_mf(x)ln(ax+b)dx

trong đó f (x) là một hàm đa thức.

Phương pháp giải quyết:

Khi bạn gặp dạng toán này, hãy làm theo các bước sau để giải nó:

\begin{aligned}
&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\
&\begin{cases}u=ln(ax+b)\\dv=f(x)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=\frac{a}{ax+b}dx\\v=\int f(x)dx\end{cases}\\
&\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Tính tích phân theo công thức}\\
&\intop_m^nf(x)ln(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu
\end{aligned}

Hình minh họa:

Tính tích phân của biểu thức sau:

I=\intop_1^2(4x+3)lnxdx

Dung dịch:

\begin{aligned}
&\text{Đặt}\begin{cases}u=lnx\\dv=(4x+3)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=\frac{1}{x}dx\\v=2x^2+3x\end{cases}\\
&\text{Khi đó: }I=(2x^2+3x)lnx|^2_1-\intop_1^2\frac{2x^2+3x}{x}dx\\
&=14ln2-0-(x^2+3x)|^2_1\\
&=14ln2-0-[(2^2+3.2)-(1^2+3.1)]\\
&=14ln2-(10-4)\\
&=14ln2-6\\
\end{aligned}

Dạng 2: Hàm số đa thức và hàm số lượng giác

Công thức chung:

\small \intop_m^nf(x)sin(ax+b)dx\ \text{hoặc}\intop_m^nf(x)cos(ax+b)dx

trong đó f (x) là một hàm đa thức.

Phương pháp giải quyết:

\begin{aligned}
&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\
&\small\begin{cases}u=f(x)\\dv=sin(ax+b)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=-\frac{1}{a}cos(ax+b)\end{cases}\\
&\small\text{hoặc}\begin{cases}u=f(x)\\dv=cos(ax+b)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=\frac{1}{a}sin(ax+b)\end{cases}\\
&\small\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Tính tích phân theo công thức}\\
&\small\intop_m^nf(x)sin(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu\\
&\text{hoặc }\small\intop_m^nf(x)cos(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu
\end{aligned}

Hình minh họa:

B=\intop_0^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx

Dung dịch:

\begin{aligned}
&B=\intop_0^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\\
&\text{Đặt }u=x+1 \implies du=dx\\
&dv=sinxdx \implies v=-cosx\\
&\text{Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được:}\\
&B=\intop_0^\frac{\pi}{2}(x+1)sinxdx\\
&=-(x+1)cosx|_0^\frac{\pi}{2}+\intop_0^\frac{\pi}{2}cosxdx\\
&=-(x+1)cosx|_0^\frac{\pi}{2}+sinx|_0^\frac{\pi}{2}\\
&=1+1=2\\
&\text{Vậy }B=2
\end{aligned}

Dạng 3: Hàm số lũy thừa và hàm số lượng giác

Công thức chung:

\small\intop_m^ne^{ax+b}sin(cx+d)dx\ \text{hoặc} \intop_m^ne^{ax+b}cos(cx+d)dx

Phương pháp giải quyết:

Với dạng toán tìm tích phân của biểu thức chứa hàm số mũ và hàm số lượng giác, bạn hãy giải bài theo 2 bước sau:

\begin{aligned}
&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\
&\small\begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=sin(cx+d)dx\end{cases}\text{hoặc}\begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=cos(cx+d)dx\end{cases}\\
&\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Suy ra được công thức theo u và v như sau:}\\
&\intop_m^nudv=uv|_m^n-\intop_m^nvdu
\end{aligned}

Lưu ý: Phải thực hiện 2 lần tích phân bởi các bộ phận.

Hình minh họa:

Tính tích phân của biểu thức sau:

I = \int e^{-2x}cos3xdx

Dung dịch:

\begin{aligned}
&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=e^{-2x}\\dv=cos3xdx\end{cases}\implies\begin{cases}du=-2e^{-2x}\\v=\frac{1}{3}sin3x \end{cases}\\
&\small\text{Khi đó ta có: }\\
&I=\frac{1}{3}e^{-2x}sin3x+\frac{2}{3}\int e^{-2x}sin3xdx\\
&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=e^{-2x}\\dv=sin3xdx\end{cases}\implies\begin{cases}du=-2e^{-2x}\\v=-\frac{1}{3}cos3x \end{cases}\\
&\small\text{Khi đó ta có: }\\
&I=\frac{1}{3}e^{-2x}sin3x+\frac{2}{3}\left[-\frac{1}{3}e^{-2x}cos3x -\frac{2}{3}\int e^{-2x}cos3xdx\right].\\
&\ \ =\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)-\frac{4}{9}\int  e^{-2x}cos3xdx\\
&\ \ =\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)-\frac{4}{9}I\\
&\Rightarrow \frac{13}{9}I=\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)\\
&\small\text{Vậy }I=\frac{1}{13}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)+C
\end{aligned}

Dạng 4: Hàm số lũy thừa và đa thức

Công thức chung:

\intop_a^b P(x)e^xdx

Trong đó, P (x) là một hàm đa thức.

Thử nghiệm và Sự kiện – Lý thuyết Toán 11 và Bài tập Thực hành

Xem thêm bài viết hay:  Động Lượng Là Gì? Định Luật Bảo Toàn Động Lượng

Phương pháp giải quyết:

Để tích hợp một biểu thức có chứa một đa thức và một hàm mũ, bạn tiến hành:

\text{Đặt}\begin{cases}u=P(x)\\dv=e^xdx\end{cases}

Hình minh họa:

C=\intop_0^{1}xe^{-2x}dx

Dung dịch:

\begin{aligned}
&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=x\\dv=e^{-2x}dx\end{cases} \implies \begin{cases}du=dx\\dv=-\frac{1}{2}e^{-2x}\end{cases}\\
&\small\text{Áp dụng công thức tính tích phân từn phần, ta được:}\\
&\intop_0^{1}xe^{-2x}dx\\
&=\left.-\frac{x}{2}e^{-2x}\right|_0^1+\frac{1}{2}\intop_0^1e^{-2x}dx\\
&=\left.-\frac{x}{2}e^{-2x}\right|_0^1-\left.\frac{1}{4}e^{-2x}\right|_0^1\\
&=\frac{1}{4} \left( 1-\frac{3}{e^2}\right)\\
&\small\text{Vậy }C=\frac{e^2-3}{4e^2}

\end{aligned}

Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại chinphu.vn

Giáo dục chinphu.vnNền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chinphu.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.

Tại chinphu.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận giáo viên sẽ giúp học viên tiếp thu kiến ​​thức nhanh chóng và dễ dàng.

Giáo dục chinphu.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của chinphu.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Xem thêm bài viết hay:  Nước Mót Hội An – Nước thảo mộc vừa ngon lại tốt cho cơ thể nhất định phải thử

7 cách học tốt môn toán đơn giản mà hiệu quả mà ai cũng có thể áp dụng

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học sinh của chinphu.vn, bạn cũng nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến ​​thức dễ dàng hơn.

chinphu.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, chinphu.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại chinphu.vn ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Qua bài viết này, Team chinphu.vn đã chia sẻ với các bạn rất nhiều thông tin về tích phân bởi các bộ phận, công thức, các dạng toán thường gặp và cách giải. Hi vọng những kiến ​​thức này sẽ giúp các bạn vận dụng để giải bài tập một cách nhanh chóng và đạt kết quả học tập tốt nhất. Chúc các bạn thành công trong học tập và gặp nhiều may mắn trong học tập!

Nhớ để nguồn: Tích Phân Từng Phần Là Gì? Công Thức Và Cách Giải Các Dạng Bài Tập

Viết một bình luận