Lý Thuyết Hàm Số Lũy Thừa Toán 12 Định Nghĩa Và Bài Tập Minh Họa

Hàm mũ và hàm lũy thừa đã không còn quá xa lạ với chương trình Toán giải tích lớp 12. Kiến thức này thường xuất hiện trong các bài toán về khảo sát hàm số. Team chinphu.vn sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm lũy thừa cũng như đạo hàm của. hàm lũy thừa qua bài viết sau.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Và Đồ Thị Về Hàm Số mũ, Hàm số Lôgarit

Định nghĩa hàm lũy thừa

Hàm số mũ là các hàm có dạng y = xα (α ∈ R). Tùy thuộc vào α, mỗi hàm sẽ có các tập xác định khác nhau:

  • Nếu α là số nguyên dương thì tập hợp là R.
  • Nếu α là một nguyên âm hoặc α = 0 thì tập là R ∖ {0}.
  • Nếu α không nguyên thì tập là (0; + ∞).

Đạo hàm của một hàm lũy thừa

Với số mũ tổng quát

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Hàm số y}=x^\alpha \text{ có đạo hàm tại mọi }x\in(0;+\infin) \text{ và y'}=(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.\\
&\footnotesize\text{Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì }\\
&\footnotesize\text{hàm số } y=u^\alpha(x) \text{ cũng có đạo hàm trên J là:}\\
&y'=[u^\alpha(x)]^{-1}=\alpha x^{\alpha-1}.(x).u'(x)
\end{aligned}

Với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số y = xN có tập xác định R và có đạo hàm trên toàn bộ trục số. Công thức tính đạo hàm hàm lũy thừa có thể được mở rộng thành:

\begin{aligned}
&\forall x \in \R, \ (x^n)'=nx^{n-1}\\
&\forall x \in J,\ [u^n(x)]'=nu^{n-1} \ (x) \ u'(x) \\
&\text{(nếu u=u(x) có đạo hàm trong khoảng J)}
\end{aligned}

Với số mũ âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số y = xN có tập được xác định là R \ {0} và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm lũy thừa Tổng quát hóa được mở rộng thành:

\begin{aligned}
& \forall x \not=0, (x^n)'=nx^{n-1}\\
&\forall x \in J, [u^n(x)]'=nu^{n-1}.(x).u'(x)\\
&\text{(nếu u=u(x) } \not= 0 \text{ có đạo hàm trong khoảng J)}
\end{aligned}

>>> Xem thêm:

Xem thêm bài viết hay:  Viết đoạn văn giới thiệu ngôi nhà (căn hộ) thân thương của em

Cách giải các bài toán bằng phương trình và bài tập minh họa

Nguyên hàm Toán 12 – Lý thuyết, Công thức và Các dạng bài tập

Bảng và công thức nguyên thủy đầy đủ và chi tiết

Đạo hàm của gốc

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Hàm số }y=\sqrt[n]{x}\text{ có thể được xem như là dạng mở rộng của hàm số lũy thừa }\\
&\footnotesize y=x^\frac{1}{n} \text{ (tập xác định của }y=\sqrt[n]{x}\text{ chứa tập xác định của }y=x^\frac{1}{n} \text{ và trên tập}\\
&\footnotesize\text{xác định của }y=x^\frac{1}{n}\text{thì hai hàm số trùng nhau).}\\
&\footnotesize \text{Công thức tính đạo hàm căn thức:}\\
&\footnotesize y=\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n} \text{\ \ \ \ và\ \ \ \ } (x^\frac{1}{n})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\
&\footnotesize \Rightarrow (\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\\
&\footnotesize \Rightarrow (\sqrt[n]{u(x)})'=\frac{u'(x)}{n\sqrt[n]{u^{n-1}(x)}}\\
\end{aligned}

Sự biến thiên và đồ thị của hàm lũy thừa trên khoảng (0; + ∝):

Đồ thị của một hàm lũy thừa

Đồ thị của hàm số mũ (Nguồn: Internet)

Tính chất của hàm lũy thừa trên khoảng (0; + ∝):

  • Đồ thị luôn đi qua điểm (1, 1).
  • Khi nào α>0 hàm luôn đồng biến, khi α <0 hàm luôn nghịch biến.
  • Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α > 0. Khi α <0 đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang trục Ox, tiệm cận đứng trục Oy.

Chú ý: Khi kiểm tra hàm số y = xα Đối với một α cụ thể, cần phải xem xét hàm trên toàn bộ tập xác định của nó, không chỉ trên khoảng (0; + ∝).

Bài tập về hàm số mũ lớp 12

Bài tập 1 trang 60 SGK Giải tích 12

Tìm tập hợp của các hàm công suất sau:

\begin{aligned}
&a) \ y=(1-x)^{\frac{-1}{3}}\\
&b)\ y=(2-x^2)^\frac35\\
&c)\ y=(x^2-1)^{-2}\\
&d)\ y=(x^2-x-2)^{\sqrt2}
\end{aligned}

Hướng dẫn giải bài tập:

\begin{aligned}
&a)\text{ Hàm số }y=(1-x)^{\frac{-1}{3}}\text{ xác định } \Leftrightarrow 1-x>0\Leftrightarrow x<1\\
&\text{Vậy tập xác định }D=(-\infin;1).\\
&b)\text{ Hàm số } y=(2-x^2)^\frac35\text{ xác định } \Leftrightarrow 2-x^2>0 \Leftrightarrow x^2<2\Leftrightarrow -\sqrt2 < x <\sqrt2\\
&\text{Vậy tập xác định }D=(-\sqrt2;\sqrt2).\\
&c)\text{ Hàm số }y=(x^2-1)^{-2}\text{ xác định } \Leftrightarrow x^2-1\not=0\Leftrightarrow x^2\not=1 \Leftrightarrow x\not= \pm1\\
&\text{Vậy tập xác định }D=\ R \backslash\{-1;1\}  .\\
&d)\text{ Hàm số }y=(x^2-x-2)^{\sqrt2}\text{ xác định }\Leftrightarrow x^2-x-2>0 \Leftrightarrow(x+1)(x-2)>0\\
&\Leftrightarrow x<-1 \text{ hoặc }x>2\\
&\text{Vậy tập xác định }D=(-\infin;-1)∪(2;+\infin) .\\
\end{aligned}\\

Bài tập 2 trang 58 SGK Giải tích 12

Tính đạo hàm của hàm số sau:

y = (3x^2 – 1)^{-\sqrt2}

Hướng dẫn giải bài tập:

\begin{aligned}
y' &= \left[(3x^2 – 1)^{-\sqrt2}\right]'\\
&=-\sqrt2(3x^2-1)^{-\sqrt2-1}.(3x^2-1)'\\
&=-\sqrt2(3x^2-1)^{-\sqrt2-1}.6x\\
&=-6\sqrt2x(3x^2-1)^{-\sqrt2-1}
\end{aligned}

Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại chinphu.vn

Giáo dục chinphu.vnNền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chinphu.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.

Xem thêm bài viết hay:  Những kiểu tóc Mohican không vuốt đẹp nhất 2022

Các phương pháp giải quyết bất bình đẳng chứa các gốc rễ chi tiết

Tại chinphu.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến ​​thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Giáo dục chinphu.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.

Với ứng dụng tích hợp nền tảng công nghệ và thông tin dữ liệu, mỗi lớp học của chinphu.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên của chinphu.vn, bạn cũng sẽ nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến ​​thức dễ dàng hơn.

Xem thêm bài viết hay:  Tình yêu là gì? Những định nghĩa chuẩn nhất về Tình yêu?

Cách tìm Tập xác định và điều kiện cấp số nhân

chinphu.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, chinphu.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại chinphu.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Team chinphu.vn đã giúp họ hiểu rõ hơn hàm lũy thừa cũng như các dẫn xuất của chúng. Đăng ký ngay khóa học tại chinphu.vn và tham gia lớp học ngoài giờ để nâng cao kiến ​​thức Toán – Lý – Hóa!

Nhớ để nguồn: Lý Thuyết Hàm Số Lũy Thừa Toán 12 Định Nghĩa Và Bài Tập Minh Họa

Viết một bình luận