Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối Của X Là Gì? Công Thức Tính Và Bài Tập

Đạo hàm giá trị tuyệt đối Của x là gì? Đạo hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối có khó không? Đây là những câu hỏi được nhiều bạn sinh viên đặt ra khi bắt đầu tìm hiểu về đạo hàm. Tuy nhiên, nếu bạn nắm vững lý thuyết cơ bản về đạo hàm cũng như các công thức tính toán và bài tập đạo hàm giá trị tuyệt đối thì dạng toán này không còn là bài toán “khó” nữa. Hãy cùng chinphu.vn tìm hiểu kỹ hơn về nội dung này qua bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm:

Nguyên hàm Toán 12 – Lý thuyết, Công thức và Các dạng bài tập

Bảng và công thức nguyên thủy đầy đủ và chi tiết

Các dạng bài tập và Bất đẳng thức Toán lớp 10

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm là gì? (Nguồn: Internet)

Giới hạn của tỷ lệ giữa gia số của hàm và gia số của đối số tại xkhi số gia của đối số tiến tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm y = f (x) tại điểm x.

Đạo hàm của hàm số y = f (x) được ký hiệu là y ‘(x.)) hoặc f ‘(x):

f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\\
\text{hoặc } y'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

Trong đó:

  • Số gia của đối số là: ∆x = x – x
  • Số gia của hàm là: y = y – y

Hoặc bạn có thể hiểu:

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Đạo hàm bằng }\frac{∆y}{∆x}\text{ là rất nhỏ, giá trị đạo hàm tại một điểm }x_0\text{ thể hiện:}
\\
&\footnotesize\bull\text{Chiều biến thiên của hàm số (đang giảm hay tăng, xem đạo hàm tại đây âm − hay dương +)}
\\
&\footnotesize\bull\text{Độ lớn của biến thiên này (ví dụ như đạo hàm bằng 1 → ∆y tăng bằng ∆x)}
\end{aligned}

Đạo hàm giá trị tuyệt đối của x là gì?

Ta sử dụng công thức đạo hàm theo định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số y = | x |.

\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-x}{\Delta x}

Khi thay giá trị | x | Trong, đạo hàm giá trị tuyệt đối của x là:

y'=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}\ (1)

Nhìn vào công thức đạo hàm trên, bạn thấy rằng đạo hàm sẽ không được xác định tại vị trí ∆x = 0, vì hàm số y = | x | là một hàm không liên tục và có dạng:

y=\left[\begin{array} {c}x \ \ \ nếu \ x \geq0\\
-x \ \ \ nếu\ x <0 \end{array}\right.

Đồ thị của hàm số y = | x | Vẽ sẽ giúp họ nhìn rõ hơn.

Xem thêm bài viết hay:  125 Hình ảnh Chào Ngày Mới Good Morning đẹp và ý nghĩa

Đồ thị đạo hàm giá trị tuyệt đối của x

Do đó, ta không thể thay trực tiếp ∆x = 0 vào (1) để tính toán mà cần biến đổi sang dạng khác sao cho mẫu khác 0 khi thay ∆x = 0 vào. Bạn có thể làm như sau:

\begin{aligned}
&\footnotesize \bull\text{Đầu tiên, đưa phương trình về dạng căn của bình phương (bởi vì }|x|=\sqrt{x^2})\\
&(1) \Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\sqrt{(x+\Delta x)^2}-\sqrt{x^2}}{\Delta x}\\
&\footnotesize \bull\text{Sau đó, ta nhân tử và mẫu cho } \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}\text{ nhằm mục đích khử trường hợp mẫu bằng 0.}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(\sqrt{(x+\Delta x)^2}-\sqrt{x^2})(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2+x^2(x+\Delta x)^2-x^2(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-x^2}{{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2x+\Delta x}{{\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}}} (2)\\
&\text{Vì ∆x tiến tới 0 và sau khi biến đổi, các em có thể thay ∆x = 0 vào (2), ta được:}\\
&y =\frac{2x}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}}\\
&y =\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}\\
&y =\frac{x}{\sqrt{x^2}}\\
&y =\frac{x}{|x|}
\end{aligned}

Sự kết luận: Đạo hàm của hàm số y = | x | được:

y'=\frac{x}{|x|}

>>> Xem thêm: Cách Tính Đạo hàm mũ và Bài tập ứng dụng

Bất bình đẳng Bunhiacopski là gì? Công thức và Chứng minh
chương trình thử nghiệm

Công thức tính nhanh đạo hàm giá trị tuyệt đối

Để tính toán nhanh đạo hàm giá trị tuyệt đốibạn cần nhớ một số công thức tính đạo hàm nhanh, có thể kể đến như:

\begin{aligned}
&\bull \text{Hàm số phân thức bậc nhất: }f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} ⇒ f’(x) = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}
\\
&\bull \text{Hàm số phân thức bậc hai: }f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} ⇒ f’(x) = \frac{amx^2 + 2anx + bn - cm}{(mx + n)^2}
\\
&\bull \text{Hàm số đa thức bậc ba: }f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ⇒ f’(x) = 3ax^2 + 2bx + c
\\
&\bull \text{Hàm số trùng phương: }f(x) = ax^4 + bx^2 + c ⇒ f’(x) = 4ax^3 + 2bx
\\
&\bull \text{Hàm số chứa căn bậc hai: }f(x) = \sqrt{u(x)} ⇒ f’(x) = \frac{u’(x)}{2\sqrt{u(x)}}
\\
&\bull \text{Hàm số chứa trị tuyệt đối: }f(x) = |u(x)| ⇒ f’(x) = \frac{u’(x).u(x)}{|u(x)|}
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Công thức đạo hàm hợp chất và Bài tập ứng dụng

Bài tập đạo hàm giá trị tuyệt đối

Tập thể dục: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

\begin{aligned}
&1.\ y = f(x) = |x|
\\
&2.\ y = f(x) = |x^2 - 3x + 2|
\end{aligned}

Dung dịch:

\begin{aligned}
&1. \text{ Ta có:}\\
&y=\left[\begin{array} {c}x \ \ \ khi \ x \geq0\\
-x \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right.\\
&\text{Do đó:}\\
&y'=\left[\begin{array} {c}1 \ \ \ khi \ x >0\\
-1 \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right.\\
&\text{Xét giá trị x = 0}\\
&f'(0^+)=\lim\limits_{x \to 0^+}1=1\\
&f'(0^-)=\lim\limits_{x \to 0^-}-1=-1\\
&f'(0^+)\not=f'(0^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 0}.\\
&\text{Kết luận: }y'=\left[\begin{array} {c}1 \ \ \ khi \ x >0\\
-1 \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right. \text{và đạo hàm không tồn tại tại điểm x = 0}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\text{2. Tập xác định: }D=\R\\
&\text{Ta xét dấu }f(x)=x^2-3x+2\text{ để có kết quả sau:}\\
&y=f(x)=\left[\begin{array} {c}x^2-3x+2\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -x^2+3x-2\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right.\\
&\text{Ta tính y':}\\
&y'=\left[\begin{array} {c}2x-3\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -2x+3\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right.\\
&\text{Ta xét y' tại các điểm tiếp giáp của các khoảng:}\\
&\underline{Tại\ x=1:}\\
&f'(1^+)=\lim\limits_{x \to 1^+}{(-2x+3)}=1\\
&f'(1^-)=\lim\limits_{x \to 1^-}{(2x-3)}=-1\\
&f'(1^+)\not=f'(1^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 1}.\\
&\underline{Tại\ x=2:}\\
&f'(2^+)=\lim\limits_{x \to 2^+}{(2x-3)}=1\\
&f'(2^-)=\lim\limits_{x \to 2^-}{(-2x+3)}=-1\\
&f'(2^+)\not=f'(2^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 2}.\\
&\text{Kết luận: }y'=\left[\begin{array} {c}2x-3\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -2x+3\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right. \text{và đạo hàm không tồn tại tại điểm x = 1}\\& \text{và x = 2}
\end{aligned}

Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại chinphu.vn

Giáo dục chinphu.vnNền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chinphu.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.

Xem thêm bài viết hay:  Bảng chữ cái tiếng Việt chuẩn cho học sinh lớp 1

Cách tính đạo hàm hợp chất và bài tập ứng dụng

Tại chinphu.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến ​​thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Giáo dục chinphu.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của chinphu.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên của chinphu.vn, bạn cũng sẽ nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến ​​thức dễ dàng hơn.

Xem thêm bài viết hay:  Các món đồ cắm trại không thể thiếu cho chuyến đi trọn vẹn 

Các dạng Bài tập tổng hợp Xác suất và cách giải nhanh và chính xác nhất

chinphu.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, chinphu.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại chinphu.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Trên đây là nội dung các công thức và bài tập tính toán đạo hàm giá trị tuyệt đối mà bạn cần phải nắm vững. Hi vọng những chia sẻ này của Team chinphu.vn sẽ giúp các bạn biết cách tính đạo hàm chứa giá trị tuyệt đối và giải nhanh các bài tập liên quan. Chúc các em làm bài thi đạt kết quả cao và đạt kết quả cao trong học kì sắp tới!

Nhớ để nguồn: Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối Của X Là Gì? Công Thức Tính Và Bài Tập

Viết một bình luận