Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki Là Gì? Công Thức Và Cách Chứng Minh

Bất đẳng thức Bunhiacopsky là một trong những nhánh quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bất đẳng thức này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức Nâng cao. Hãy cùng chinphu.vn tìm hiểu về các công thức, cách chứng minh và bài tập Bất đẳng thức Bunhiacopsky qua bài viết dưới đây.

Bất đẳng thức Bunhiacopsky là gì?

Bất đẳng thức Bunhiacopsky là gì? (Nguồn: Internet)

Bất đẳng thức Bunhiacopxki ban đầu được gọi là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, sau đó rút gọn thành tên của nhà toán học Nga Bunhiacopxki. Bất đẳng thức này được nghiên cứu và phát triển bởi 3 nhà toán học. Trong lĩnh vực toán học, bất đẳng thức này được sử dụng rộng rãi để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị.

Công thức bất đẳng thức Bunhiacopsky

Dạng cơ bản của bất đẳng thức Bunhiacopski là:

\begin{aligned}
&(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\
&\text{Dấu "=” xảy ra khi }ac = bd
\end{aligned}

Bất đẳng thức Bunhiacopsky ở dạng tổng quát:

Với hai bộ số (aĐầu tiênmột2…,mộtN) và BĐầu tiênb2…, bN), Chúng ta có:

\begin{aligned}
&(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2).(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) ≥ (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2\\
&\text{Dấu “=” xảy ra khi } \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} =... = \frac{a_n}{b_n}\\
\end{aligned}

Nếu một số (i = 1, 2, 3,…, n) là 0 thì đẳng thức tương ứng là 0.

Ngoài ra:

Bất đẳng thức Bunhiacopsky ở dạng tổng quát

Hậu quả của bất bình đẳng Bunhiacopsky

Hệ quả 1

\small\text{Nếu }a_1x_1 +... + a_nx_n = C \text{ thì } min(x_1^2+...+x_n^2)=\frac{C}{a_1^2+...+a_n^2} \text{đạt được khi }\frac{x_1}{a_1} =... = \frac{x_n}{a_n}

Hệ quả 2

\begin{aligned}
&\small \text{Nếu } x_1^2 +...+ x_n^2 = C^2 \text{ (không đổi) thì:}\\
&\small \bull Max(a_1x_1+...+a_nx_n)=C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ đạt được khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\geq0.\\
&\small \bull Min(a_1x_1+...+a_nx_n)=-C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ và dấu "=" xảy ra khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\leq0.\\
\end{aligned}

chương trình thử nghiệm

Chứng minh Bất đẳng thức Bunhiacopsky

Bạn có thể chứng minh Bất đẳng thức Bunhiacopsky như sau:

Xem thêm bài viết hay:  Giải mã thần số học số 2 – Con số hiếm gặp

Lý thuyết về Bất đẳng thức tam giác: Mối quan hệ giữa 3 mặt trong một tam giác

Chúng ta có:

\begin{aligned}
&(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\
&\Leftrightarrow(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 ≥ (ac)^2 + 2abcd + (bd)^2\\
&\Leftrightarrow (ad)^2 + (bc)^2 ≥ 2abcd\\
&\Leftrightarrow (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2 ≥0\\
&\Leftrightarrow (ad - bc)^2 ≥ 0\text{ (luôn đúng)}
\end{aligned}

Bài tập bất đẳng thức Bunhiacopski lớp 9

Bài tập 1: Cho các số a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq6 

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopsky cho phân số, ta có:

\begin{aligned}
&\footnotesize \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\\
&\footnotesize  \Leftrightarrow 1.\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq\sqrt{(1+1+1)\left(\frac{a + b}{a + b + c}+\frac{b + c}{a + b + c}+\frac{c + a}{a + b + c}\right)}\\
&\footnotesize  \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.\left[\frac{2(a + b+c)}{a + b + c}\right]}\\
&\footnotesize  \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.2}=\sqrt6 \text{ (điều phải chứng minh)}\\
&\footnotesize\text{Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các giá trị a = b = c}
\end{aligned}\\

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất (max) của biểu thức sau:

P=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}

Hướng dẫn:

\begin{aligned}
&\footnotesize P=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\\
&\footnotesize \text{Điều kiện: }2 ≤ x ≤ 4\\
&\footnotesize \text{Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki, ta có:}\\
&\footnotesize (1.\sqrt{x -2} + 1.\sqrt{4 -x})^2  ≤ (1^2  + 1^2).(x - 2 + 4 - x) = 2^2 = 4\\
&\footnotesize⟹ P^2 ≤ 4\\
&\footnotesize ⟺ -2 ≤ P ≤ 2\\
&\footnotesize \text{P đạt giá trị lớn nhất khi }P = 2 ⟺ \frac{1}{\sqrt{x -2}} = \frac{1}{\sqrt{4 -x}} ⟺ x - 2 = 4 - x ⟺ x = 3 (TMĐK)\\
&\footnotesize \text{Vậy }P_{max} = 2 ⟺ x = 3
\end{aligned}

Bài tập 3: Cho các số a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopsky.

Chúng tôi nhận được:

\begin{aligned}
&\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\\
&\text{Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các số a = b = c}
\end{aligned}

Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại chinphu.vn

Giáo dục chinphu.vnNền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất tại Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chinphu.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.

Xem thêm bài viết hay:  TOP 10 khu vui chơi ở Hà Nội cực Vui, cực Chất, trải nghiệm cực đã

Asymptotes của đồ thị hàm số: Lý thuyết và cách tìm Asymptotes

Tại chinphu.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến ​​thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Giáo dục chinphu.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của chinphu.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học sinh của chinphu.vn, bạn cũng nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và sắp xếp hợp lý giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến ​​thức dễ dàng hơn.

Xem thêm bài viết hay:  Khám phá làng rau Trà Quế Hội An – Điểm đến được công nhận là di sản quốc gia

Lý thuyết Toán 10 Hàm số bậc hai và các dạng bài tập thường gặp

chinphu.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, chinphu.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại chinphu.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.

GỠ BỎbình đẳng Bunhiacopski thường được áp dụng trong nhiều bài tập chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị. Vì vậy, bạn cần nắm vững các khái niệm, công thức tính toán, cách chứng minh bbình đẳng Bunhiacopski và làm nhiều bài tập khác nhau để cải thiện kỹ năng toán học của bạn. Chúc các bạn luôn đạt điểm cao trong tất cả các kỳ thi và học tập tốt hơn mỗi ngày!

Nhớ để nguồn: Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki Là Gì? Công Thức Và Cách Chứng Minh

Viết một bình luận